OSNA SIMETRIJA
Osna simetrija u ravni
Ako kod figure postoji bar jedna prava po kojoj, ako bi se savio papir, svaka tačka figure sa jedne strane te prave poklopila sa odgovarajućom tačkom sa druge strane, onda je reč o simetričnosti.
Takvo pridruživanje (preslikavanje, dodeljivanje) je osna simetrija, a prava u odnosu na koju postoji to pridruživanje je osa simetrije.
Tačka A1 je osno simetrična tački A u odnosu na osu simetrije s, a tačka A je osno simetrična tački A1, štoznači da su A i A1 uzajamno simetrične.
Ako se preslikava tačka koja se nalazi na osi simetrije, ona će se preslikati u samu sebe, dakle tačka B će biti na istom mestu gde i B1.
Ako se preslikava tačka koja se nalazi na osi simetrije, ona će se preslikati u samu sebe, dakle tačka B će biti na istom mestu gde i B1.
Crtnje osnosimetričnih figura
Skicirati znači crtati “slobodnom rukom” bez pribora. Nacrtati znači koristiti pribor: trougaone lenjire, šestar, uglomer, i drugo. Konstruisati znači koristiti pribor, ali samo jedan lenjir i šestar.
Način preslikavanja osnosimetrične tačke:
- Prvo se nacrta normala n na pravu s koja sadrži tačku A koristeći trougaoni lenjir
- Zatim rastojanje AS (tačka S je presek pravih n i s)
preneti na drugu stranu prave n, tako da je AS=AS1
A1
- Tačka A1 je simetrična tački A.
Duži se prenose na isti način, i to tako što se prvo prenese jedna krajnja tačka, pa druga krajnja tačka duži, i na kraju se spoje dve preslikane tačke.
Ako se zna kako se preslikavaju tačke i duži, onda je lako preslikati i bilo koji mnogougao.
Simetrala duži
Simetrala duži je prava normalna na duž i sadrži središte duži.
Svaka tačka koja pripada simetrali duži (prava sAB) je na jednakim rastojanjima od krajeva duži.
Simetrala proizvoljne duži AB konstruiše se tako što se prvo konstruišu kružne linije k1(A,r) AB i k2(B,r) gde je dužina poluprečnika r izabrana proizvoljno, ali je veća od polovine duži AB.
Kružne linije k1 i k2 seku se u tačkama M1 i M2 koje određuju datu simetralu Sab.
Središte duži je tačka koja pripada duži i deli je na dve jednake duži.
Simetrala ugla
Prava s u ravni ugla xOy koja sadrži tačku O
i gradi jednake uglove xOs i sOy
naziva se simetrala tog ugla.
Datom konveksnom uglu xOy konstruišemo tačke X i Y na kracima Ox i Oy tako da je OX=OY.
(To se radi kružnom linijom k(O,r), gde je dužina poluprečnika r proizvoljno izabrana).
Simetrala duži XY je simetrala ugla xOy
Konstruisana simetrala je istovremeno i simetrala ugla unakrsnog sa uglom xOy.
Svaka tačka sa simetrale ugla jednako je udaljena od pravih određenih krakovima ugla
.
Kod razlomaka, imenilac je broj koji se piše ispod razlomačke crte i, ujedno, ukazuje na koliko je jednakih delova podeljena celina.
Vrednost imenioca se koristi u nazivu razlomka, on imenuje delove celine, odakle mu je i izveden naziv: polovine, trećine, četvrtine, petine,...
Pravi razlomak je onaj kome je brojilac manji od imenioca.
~Razlomke sa različitim imeniocima proširivanjem dovodimo na razlomke jednakih imenioca, pa ih onda sabiramo kao razlomke jednakih imenioca.
~Razlomci sa jednakim imeniocima se oduzimaju tako što se imenilac prepiše, a oduzmu se brojioci tih razlomaka.
~Razlomke sa različitim imeniocima proširivanjem dovodimo na razlomke jednakih imenioca, pa ih onda oduzimamo kao razlomke jednakih imenioca.
~Razlomak se množi prirodnim brojem tako što se imenilac prepiše, a brojilac se pomnoži tim brojem.
~Razlomak se deli prirodnim brojem tako što se brojilac prepiše, a imenilac se pomnoži tim brojem.
~Proizvod dva razlomka je razlomak čiji je brojilac jednak proizvodu brojilaca ta dva razlomka, a imenilac proizvod imenilaca ta dva razlomka.
~Razlomak se deli drugim razlomkom tako što se taj razlomak pomnoži sa recipročnom vrednošću drugog razlomka.
Recipročna vrednost razlomka se dobije kada brojilac i imenilac razlomka zamene svoja mesta..
.
RAZLOMCI - osnovni pojmovi
Razlomak (od latinske reči Fractus što znači slomljeno, razlomljeno) je
odnos jednog celog broja (brojioca) prema drugom (imeniocu).
brojilac(koliko smo delova uzeli)
-------------------------------------------------------
imenilac(na koliko delova je podeljena celina)
-------------------------------------------------------
imenilac(na koliko delova je podeljena celina)
Razlomak se sastoji iz tri dela: brojilac, imenilac i razlomačka crta.
Brojilac je deo razlomka koji se piše iznad razlomačke crte, i predstavlja količinu nekog dela celine koja učestvuje u računu.
Kod razlomaka, imenilac je broj koji se piše ispod razlomačke crte i, ujedno, ukazuje na koliko je jednakih delova podeljena celina.
Vrednost imenioca se koristi u nazivu razlomka, on imenuje delove celine, odakle mu je i izveden naziv: polovine, trećine, četvrtine, petine,...
Pravi razlomak je onaj kome je brojilac manji od imenioca.
Sabiranje i oduzimanje razlomaka
~Razlomci sa jednakim imeniocima se sabiraju tako što se imenilac prepiše, a saberu se brojioci tih razlomaka.~Razlomke sa različitim imeniocima proširivanjem dovodimo na razlomke jednakih imenioca, pa ih onda sabiramo kao razlomke jednakih imenioca.
~Razlomci sa jednakim imeniocima se oduzimaju tako što se imenilac prepiše, a oduzmu se brojioci tih razlomaka.
~Razlomke sa različitim imeniocima proširivanjem dovodimo na razlomke jednakih imenioca, pa ih onda oduzimamo kao razlomke jednakih imenioca.
Množenje i deljenje razlomaka
~Razlomak se množi prirodnim brojem tako što se imenilac prepiše, a brojilac se pomnoži tim brojem.
~Razlomak se deli prirodnim brojem tako što se brojilac prepiše, a imenilac se pomnoži tim brojem.
~Proizvod dva razlomka je razlomak čiji je brojilac jednak proizvodu brojilaca ta dva razlomka, a imenilac proizvod imenilaca ta dva razlomka.
~Razlomak se deli drugim razlomkom tako što se taj razlomak pomnoži sa recipročnom vrednošću drugog razlomka.
Recipročna vrednost razlomka se dobije kada brojilac i imenilac razlomka zamene svoja mesta..
DELJIVOST BROJEVA - osnovni pojmovi
Delilac nekog broja jeste svaki prirodni broj kojim je taj broj deljiv.
Svaki prirodni broj veći od broja 1 ima bar dva delioca.
Sadržilac nekog broja je svaki prirodni broj koji je deljiv tim brojem.
Proizvod dva broja deljiv je nekim brojem ako je jedan od činilaca deljiv tim brojem.
Zbir dva broja deljiv je nekim brojem samo ako su oba sabirka deljiva tim brojem.
Razlika dva broja deljiva je nekim brojem samo ako su i umanjilac i umanjenik deljivi tim istim brojem.
Broj 0 je deljiv bilo kojim prirodnim brojem.
Hajveći zajednički delilac (NZD) dva cela broja različita od nule je najveći pozitivan ceo broj koji deli oba broja bez ostatka.
Dva broja su uzajamno prosta ako im je najveći zajednički delilac jednak 1. Na primer, NZD(12, 18) = 6
Hajmanji zajednički sadržilac (NZS) dva cela broja jeste najmanji prirodan broj koji je deljiv bez ostatkasa oba. Ukoliko je jedan od datih brojeva nula, njihov najmanji zajednički sadržalac je nula po definiciji. Analogno se definiše i najmanji zajednički sadržalac više celih brojeva.
Najmanji zajednički sadržalac, na primer, omogućava sabiranje razlomaka sa različitim imeniocima.
Primer: najmanji zajednički sadržilac za brojeve 5 i 3 bi bio broj 15.
SA NULOM SE NE SME DELITI!
Deljivost brojem 2
Broj je deljiv brojem 2 ako je poslednja cifra paran broj.
(0, 2, 4, 6, 8)
Brojevi deljivi sa 2
2, 4, 6, 8, 10, 12, 24, 126, 358, 550, 1238, 2100, 6006, 9198, 101056, 5450048, 120250506...
Deljivost brojem 3
Broj je deljiv brojem 3 ako mu je zbir cifara deljiv brojem 3.
Brojevi deljivi sa 3
3, 6, 9, 12, 24, 105, 207, 255, 1767, 2637, 5004, 99999, 170691, 299094, 100000098...
Deljivost brojem 4
Broj je deljiv brojem 4 ako mu je dvocifreni završetak deljiv brojem 4.
Brojevi deljivi sa 4
8, 12, 24, 324, 504, 852, 964, 520, 1232, 5500, 7864, 9096, 45844, 254072, 120096...
Deljivost brojem 5
Broj je deljiv brojem 5 ako se završava ciframa 0 ili 5
Brojevi deljivi sa 5
10, 15, 20, 325, 750, 885, 900, 1520, 3005, 5500, 7860, 35845, 850475, 320000...
Deljivost brojem 9
Broj je deljiv brojem 9 ako mu je zbir cifara deljiv brojem 9.
Brojevi deljivi sa 9
9, 18, 27, 117, 468, 594, 774, 909, 1008, 4212, 3333, 8622, 50301, 77598, 10008...
Deljivost brojem 10
Broj je deljiv brojem 10 ako se završava sa jednom ili više 0.
Brojevi deljivi sa 10
10, 20, 50, 100, 150, 340, 620, 880, 920, 1500, 3330, 6890, 9990, 15200, 302500...
Deljivost brojem 25
Broj je deljiv brojem 25 ako mu je dvocifreni završetak deljiv brojem 25. (00, 25, 50 ili 75)
Brojevi deljivi sa 25
25, 50, 75, 100, 125, 150, 375, 600, 1225, 3375, 6850, 9975, 15200, 32575, 125050...
Prirodni brojevi veći od 1 koji imaju samo dva delioca, broj 1 i samog sebe nazivaju se prosti brojevi.
Prirodni brojevi veći od 1 koji imaju više od dva delioca nazivaju se složeni brojevi.
Broj 1 nije ni prost ni složen broj.
Sadržilac nekog broja je svaki prirodni broj koji je deljiv tim brojem.
Proizvod dva broja deljiv je nekim brojem ako je jedan od činilaca deljiv tim brojem.
Zbir dva broja deljiv je nekim brojem samo ako su oba sabirka deljiva tim brojem.
Razlika dva broja deljiva je nekim brojem samo ako su i umanjilac i umanjenik deljivi tim istim brojem.
Broj 0 je deljiv bilo kojim prirodnim brojem.
Hajveći zajednički delilac (NZD) dva cela broja različita od nule je najveći pozitivan ceo broj koji deli oba broja bez ostatka.
Dva broja su uzajamno prosta ako im je najveći zajednički delilac jednak 1. Na primer, NZD(12, 18) = 6
Hajmanji zajednički sadržilac (NZS) dva cela broja jeste najmanji prirodan broj koji je deljiv bez ostatkasa oba. Ukoliko je jedan od datih brojeva nula, njihov najmanji zajednički sadržalac je nula po definiciji. Analogno se definiše i najmanji zajednički sadržalac više celih brojeva.
Najmanji zajednički sadržalac, na primer, omogućava sabiranje razlomaka sa različitim imeniocima.
Primer: najmanji zajednički sadržilac za brojeve 5 i 3 bi bio broj 15.
SA NULOM SE NE SME DELITI!
Deljivost brojem 2
Broj je deljiv brojem 2 ako je poslednja cifra paran broj.
(0, 2, 4, 6, 8)
Brojevi deljivi sa 2
2, 4, 6, 8, 10, 12, 24, 126, 358, 550, 1238, 2100, 6006, 9198, 101056, 5450048, 120250506...
Deljivost brojem 3
Broj je deljiv brojem 3 ako mu je zbir cifara deljiv brojem 3.
Brojevi deljivi sa 3
3, 6, 9, 12, 24, 105, 207, 255, 1767, 2637, 5004, 99999, 170691, 299094, 100000098...
Deljivost brojem 4
Broj je deljiv brojem 4 ako mu je dvocifreni završetak deljiv brojem 4.
Brojevi deljivi sa 4
8, 12, 24, 324, 504, 852, 964, 520, 1232, 5500, 7864, 9096, 45844, 254072, 120096...
Deljivost brojem 5
Broj je deljiv brojem 5 ako se završava ciframa 0 ili 5
Brojevi deljivi sa 5
10, 15, 20, 325, 750, 885, 900, 1520, 3005, 5500, 7860, 35845, 850475, 320000...
Deljivost brojem 9
Broj je deljiv brojem 9 ako mu je zbir cifara deljiv brojem 9.
Brojevi deljivi sa 9
9, 18, 27, 117, 468, 594, 774, 909, 1008, 4212, 3333, 8622, 50301, 77598, 10008...
Deljivost brojem 10
Broj je deljiv brojem 10 ako se završava sa jednom ili više 0.
Brojevi deljivi sa 10
10, 20, 50, 100, 150, 340, 620, 880, 920, 1500, 3330, 6890, 9990, 15200, 302500...
Deljivost brojem 25
Broj je deljiv brojem 25 ako mu je dvocifreni završetak deljiv brojem 25. (00, 25, 50 ili 75)
Brojevi deljivi sa 25
25, 50, 75, 100, 125, 150, 375, 600, 1225, 3375, 6850, 9975, 15200, 32575, 125050...
Prirodni brojevi veći od 1 koji imaju samo dva delioca, broj 1 i samog sebe nazivaju se prosti brojevi.
Prirodni brojevi veći od 1 koji imaju više od dva delioca nazivaju se složeni brojevi.
Broj 1 nije ni prost ni složen broj.
